segunda-feira, 24 de maio de 2010

Questão de vestibular - matemática



Questão 42 - Uerj 2006










     No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q.
Considerando , quando um dos atletas tiver percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância entre eles será igual a:
a) 0,4 R
b) 0,6 R
c) 0,8 R
d) 1,0 R

Solução:

Distância total percorrida pelos atletas:

  • trajetória de raio 2R: distância = π · (2R) = 2π R

  • trajetória de raio R: distância = distância 1 + distância 2 = π R + π R = 2π R
Os atletas percorrem a mesma distância.

3/4 da distância percorrida pelo atleta 1:   




3/4 da distância percorrida pelo atleta 2 também será




Posição dos atletas em suas trajetórias:



















O atleta 1 está na posição que corresponde a 3/4 da sua trajetória. O ângulo entre o raio 2R e o eixo x é de 45° (pois 3/4 de π = 3/4 de 180° = 135°, logo, faltam 45° para o término do percurso.)
Para saber a posição (x,y) deste atleta, fazemos:





Portanto, a posição do atleta 1 é:                O atleta 2 está na posição (R,R).



Para sabermos a distância entre os atletas, lembremos, da geometria analítica, que a distância entre dois pontos é calculada por:



Portanto,
















OPÇÃO B

6 comentários:

  1. A fórmula de geometria analítica na verdade nem é necessária né. Basta pensar que, se a distância do centro da circunferência maior até o primeiro atleta é R/2 (leia-se a barra '/' como uma raiz, ou seja, R raiz de dois), e, a distância do centro da circunferência maior até o segundo atleta é o raio da circunferência maior, ou seja 2R, é só subtrair R/2 de 2R. A diferença entre eles é a distância entre os atletas.

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    1. Sensacional. Realmente, assim é bem mais simples.

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  2. Nossa, esse último comentário acrescentou super! Agora sim!

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  3. Concordo com o "anônimo" ali encima,detesto geometria analítica

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