quarta-feira, 2 de junho de 2010

Questão de vestibular II- Matemática

Questão 36 - 2º Exame de Qualificação Uerj 2008

Considere o icosaedro abaixo, construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados.
A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro.
Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado a seguir:
Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica.
O número de arestas dessa estrutura é igual a:
(A) 90
(B) 120
(C) 150
(D) 180


Solução:

O icosaedro tem 20 faces triangulares. Depois de inflado, ao obtermos a geodésica, cada face dividiu-se em 4 triângulos equiláteros. Portanto, a geodésica tem 4·20 faces (80 faces).

Para esse poliedro, valem as relações:

V-A+F=2   (V é o número de vértices do poliedro, A é o número de arestas e F é o número de faces.)
n·F=2A      (n é o número de arestas de cada face)
m·V=2A    (m é o número de arestas de cada ângulo poliédrico)


Utilizando a segunda relação (n·F=2A), temos:

3·80=2A        (as faces são triângulos, cada um com 3 arestas)
240=2A
A=120 arestas

Opção certa: (B)


2 comentários:

  1. obrigado pelo post, deu uma ajuda e tanto!

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  2. Obrigado, ajudou bastante!

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