Questão de vestibular II- Matemática

Questão 36 - 2º Exame de Qualificação Uerj 2008

Considere o icosaedro abaixo, construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados.

A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro.

Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado a seguir:

Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica.

O número de arestas dessa estrutura é igual a:

(A) 90

(B) 120

(C) 150

(D) 180

Solução:

O icosaedro tem 20 faces triangulares. Depois de inflado, ao obtermos a geodésica, cada face dividiu-se em 4 triângulos equiláteros. Portanto, a geodésica tem 4·20 faces (80 faces).

Para esse poliedro, valem as relações:

V-A+F=2   (V é o número de vértices do poliedro, A é o número de arestas e F é o número de faces.)

n·F=2A      (n é o número de arestas de cada face)

m·V=2A    (m é o número de arestas de cada ângulo poliédrico)

Utilizando a segunda relação (n·F=2A), temos:

3·80=2A        (as faces são triângulos, cada um com 3 arestas)

240=2A

A=120 arestas

Opção certa: (B)